为何在这题中能同时用初等行变换和初等列变化|A-λE|=2-λ3218-λ2-2-14-3-λ=-(λ-1)(λ-3)^2=0解得特征值为1,3,31对应的特征向量：(A-E)x=0系数矩阵：132172-2-14-4初等行变换结果是：102010000

Question

为何在这题中能同时用初等行变换和初等列变化
|A-λE|=
2-λ 3 2
1 8-λ 2
-2 -14 -3-λ
= -(λ-1)(λ-3)^2=0
解得特征值为1,3,3
1对应的特征向量：
(A-E)x=0
系数矩阵：
1 3 2
1 7 2
-2 -14 -4
初等行变换结果是：
1 0 2
0 1 0
0 0 0
所以特征向量是[-2 0 1]^T
3对应的特征向量：
(A-3E)x=0
系数矩阵：
-1 3 2
1 5 2
-2 -14 -6
初等行变换结果是：
1 1 0
0 2 1
0 0 0
所以特征向量是[1 -1 2]^T
追问：
第一个等式如何化简为
= -(λ-1)(λ-3)^2=0
回答：
|A-λE|=
2-λ 3 2
1 8-λ 2
-2 -14 -3-λ
r3+2r2
2-λ 3 2
1 8-λ 2
0 2-2λ 1-λ
c2-2c3
2-λ -1 2
1 4-λ 2
0 0 1-λ
= (1-λ)[(2-λ)(4-λ)+1]
= (1-λ)(λ^2-6λ+9)
= (1-λ)(λ-3)^2

Answer 1

求行列式时 是用的行列式的性质
对行列式来说,行列的地位是对等的
不要把行列式的性质 与 矩阵的初等变换混淆