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假定a是任意整数,求证:a^2+a+1==1(mod3)或a^2+a+1==0(mod3)
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假定a是任意整数,求证:a^2+a+1==1(mod3) 或 a^2+a+1==0(mod3)
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答案和解析
假定a是任意整数,求证:a^2+a+1==1(mod3) 或 a^2+a+1==0(mod3)
(1)a=3k (k∈Z)
a^2+a=3k(3k+1)
所以a^2+a+1==1(mod3)
(2)a=3k+1 (k∈Z)
a^2+a+1=9k²+9k+3=3（3k²+3k+1）
所以a^2+a+1==0(mod3)
(3)a=3k+2 (k∈Z)
a^2+a=（3k+2）(3k+3)=3（3k²+5k+2）
所以a^2+a+1==1(mod3)
综合（1）、（2）、（3）得
a^2+a+1==1(mod3) 或 a^2+a+1==0(mod3)
(1)a=3k (k∈Z)
a^2+a=3k(3k+1)
所以a^2+a+1==1(mod3)
(2)a=3k+1 (k∈Z)
a^2+a+1=9k²+9k+3=3（3k²+3k+1）
所以a^2+a+1==0(mod3)
(3)a=3k+2 (k∈Z)
a^2+a=（3k+2）(3k+3)=3（3k²+5k+2）
所以a^2+a+1==1(mod3)
综合（1）、（2）、（3）得
a^2+a+1==1(mod3) 或 a^2+a+1==0(mod3)
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