设下面所考虑的函数都是定义在对称区间（-a,a)奇偶函数上的．证明：（1）两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数：（2）定义在对称区间（-a,a)上的任意函数可表示为一个奇函数

Question

设下面所考虑的函数都是定义在对称区间（-a,a)奇偶函数上的．证明：
（1）两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数：
（2）定义在对称区间（-a,a)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和．

Answer 1

设F（x）,G（x）均为偶函数,M（x）为它们的和函数,b为区间上任意一点,则根据题目条件：
F（b）=F（-b）,G（b）=G（-b）
M（x）=F（x）+G（x）：M（b）=F（b）+G（b）=F（-b）+G（-b）=M（-b）,所以偶函数和还是偶函数,同样可以证明奇函数的和是奇函数