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设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-a,a)奇偶函数上的.证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数:(2)定义在对称区间(-a,a)上的任意函数可表示为一个奇函数
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设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-a,a)奇偶函数上的.证明:
(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数:
(2)定义在对称区间(-a,a)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数:
(2)定义在对称区间(-a,a)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
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答案和解析
设F(x),G(x)均为偶函数,M(x)为它们的和函数,b为区间上任意一点,则根据题目条件:
F(b)=F(-b),G(b)=G(-b)
M(x)=F(x)+G(x):M(b)=F(b)+G(b)=F(-b)+G(-b)=M(-b),所以偶函数和还是偶函数,同样可以证明奇函数的和是奇函数
F(b)=F(-b),G(b)=G(-b)
M(x)=F(x)+G(x):M(b)=F(b)+G(b)=F(-b)+G(-b)=M(-b),所以偶函数和还是偶函数,同样可以证明奇函数的和是奇函数
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