函数,证明设下面所考虑的函数都是定义在对称区间（-L,L）内的,证明：1.两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数2.两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与

Question

函数,证明
设下面所考虑的函数都是定义在对称区间（-L,L）内的,证明：
1.两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数
2.两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数

Answer 1

设在对称区间（-L,L）内,
f(x),p(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),p(-x)=p(x)
g(x),w(x)是奇函数,则g(-x)=-g(x),w(-x)=-w(x)
1.因为
f(-x)+p(-x)=f(x)+p(x),所以,两个偶函数的和是偶函数.
g(-x)+w(-x)=-g(x)-w(x),所以,两个奇函数的和是奇函数.
2.因为
f(-x)*p(-x)=f(x)*p(x),所以,两个偶函数的乘积是偶函数.
g(-x)*w(-x)=[-g(x)]*[-w(x)]=g(x)*w(x),所以,两个奇函数的乘积是偶函数.
f(-x)*g(-x)=f(x)*[-g(x)]=-f(x)*g(x),所以,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.