已知直线l过圆（x+4）2+y2=16的圆心C且垂直与x轴，点F的坐标是（-6，0），点G是圆上任意一点．（1）若直线FG与直线l相交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（2）过点F

Question

已知直线l过圆（x+4）²+y²=16的圆心C且垂直与x轴，点F的坐标是（-6，0），点G是圆上任意一点．
（1）若直线FG与直线l相交 于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（2）过点F人作两条互相垂直的弦，设其弦长为m．n，求m+n的最大值；
（3）在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G，都有|GP|=2|GF|？若存在，求出点P的坐标；若存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵圆心C（-4，0），直线l：x=-4，F（-6，0），
根据题意设G（-5，y₀），代入（x+4）²+y²=16，
解得y₀=±√(15)，∴k_FG=±√(15)；
∴直线FG的方程为y=±√(15)（x+6），
∴点C（-4，0）到直线FG的距离为d=(√(15))/(2)，
直线FG被圆C所截得的弦长为2√(16−((√(15))/(2))2)=7；
（2）设两条弦的弦心距分别为d₁，d₂，则d12+d22=4；
∴m+n=2（√(16−d12)+√(16−d22)）≤2×2√((16−d12+16−d22)/(2))=4√(14)，
当且仅当d₁=d₂=√(2)时取“=”，∴m+n的最大值是4√(14)；
（3）假设存在定点P（s，t），设G（x₀，y₀），
则√((x0−s)2+(y0−t)2)=2√((x0+6)2+y02)，
整理得3（x02+y02）+（48+2s）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0；…①
又点G在圆C上，∴(x0+4)2+y02=16，即x02+y02=-8x₀；…②
把②代入①，整理得（2s+24）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0，
此时对圆上任意一点G（x₀，y₀）都成立，
∴

2s+24＝0

2t＝0

144−s2−t2＝0

，解得

s＝−12

t＝0

；
∴存在定点P（-12，0），使得对圆C上的任一点G都有|GP|=2|GF|．