一道三点共线的证明题目,难度较大四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q.由点Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别是E,F.求证：P,E,F三点共线
四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q.由点Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别是E,F.求证：P,E,F三点共线
连接PQ,并在PQ上取一点M,使得
B,C,M,P四点共圆,连CM,PF.设PF与圆的另一交点为E’,并作QG丄PF,垂足为G.易如
QE2=QM·QP=QC·QB ①
∠PMC=∠ABC=∠PDQ.
从而C,D,Q,M四点共圆,于是
PM·PQ=PC·PD ②
由①,②得
PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB,
即PQ2=QC·QB+PC·PD.
易知PD·PC=PE’·PF,又QF2=QC·QB,有
PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2,
即PE’·PF=PQ2-QF2.又
PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)·(PG－GF)
=PF·(PG－GF),
从而PE’=PG－GF=PG－GE’,即GF=GE’,故E’与E重合.
所以P,E,F三点共线.
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