如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,左右移动边长为根号3cm等边△DEF,使顶点E、F始终在边BC上,DE、DF分别与AB相交于点G、H.当点F与点C重合时,点D恰好在斜边AB上.（1）求AB的长（2）在移动过程中,求

Question

如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,左右移动边长为根号3cm等边△DEF,使顶点E
、F始终在边BC上,DE、DF分别与AB相交于点G、H.当点F与点C重合时,点D恰好在斜边AB上.
（1）求AB的长
（2）在移动过程中,求证：CF=DG
（3）设CF=X,△DEF与ABC重叠部分的面积为y,则Y关于X的解析式：
定义域：

Answer 1

当F点与点C重合时,点D恰好落在AB边上
∠DFA=60°,∠A=30°,DC=DF
∠CDA=90°在Rt△ACD中,DC=1/2BC
BC=2DC,√3/2AB=2DC
AB=4√3/3DC=4√3/3*√3=4cm
BC=2√3
2,设CF的长为x,则BF=BC-x=2√3-x
在Rt△BHF中,HF=1/2BF=√3-(x/2)
DH=√3-HF=√3-√3+(1/2x)=x/2
∠B=30°,∠DEC=60°
∠DGH=∠BGE=30°
在Rt△GHD中,DG=2DH=2*x/2=x
DG=CE=x
3,（2）得DH=x/2,HG=√3x/2
SRt△DHG=1/2DH*HG=√3x^2/8
S△DEF=√3/4*(√3)^2=3√3/4
y=S△DEF-SRt△DHG=3√3/4-√3x^2/8
y=3√3/4-√3x^2/8 (0≤x≤√3)
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