证明函数的证任意一定义在区间（-a,a）（a>0）上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和

Question

证明函数的
证任意一定义在区间（-a,a）（a>0）上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和

Answer 1

任意函数f(x),构造两个函数,g(x),h(x)
其中,g(x)=(f(x)-f(-x))/2
h(x)=(f(x)+f(-x))/2
由于g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x)
h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)
所以g(x)为奇函数,h(x)为偶函数
g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x).
所以得证:
任意函数f(x),都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和
得证.