设矩阵A是正定矩阵,证明A的平方也是正定矩阵一道证明题···

Question

设矩阵A是正定矩阵,证明A的平方也是正定矩阵
一道证明题···

Answer 1

正定矩阵的性质：
设M是n阶实系数对称矩阵,如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n) ,都有 XMX′>0,就称M正定(Positive Definite).
因为A正定,因此,对任何非零向量X=(x_1,...x_n) ,XAX′>0.
设X′X=k,显然k>0(X′X每个元素都是平方项)
则XAAX′=(XAX′)(XAX′)/k>0
那么A^2是正定矩阵.