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在学习了正方形后,数学小组的同学对正方形进行了探究,发现:(1)如图1,在正方形ABCD中,点E为BC边上任意一点(点E不与B、C重合),点F在线段AE上,过点F的直线MN⊥AE,分别交AB、CD于
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在学习了正方形后,数学小组的同学对正方形进行了探究,发现:
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E为BC边上任意一点(点E不与B、C重合),点F在线段AE上,过点F的直线MN⊥AE,分别交AB、CD于点M、N.此时,有结论AE=MN,请进行证明;
(2)如图2:当点F为AE中点时,其他条件不变,连接正方形的对角线BD,MN 与BD交于点G,连接BF,此时有结论:BF=FG,请利用图2做出证明.
(3)如图3:当点E为直线BC上的动点时,如果(2)中的其他条件不变,直线MN分别交直线AB、CD于点M、N,请你直接写出线段AE与MN之间的数量关系、线段BF与FG之间的数量关系.
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E为BC边上任意一点(点E不与B、C重合),点F在线段AE上,过点F的直线MN⊥AE,分别交AB、CD于点M、N.此时,有结论AE=MN,请进行证明;
(2)如图2:当点F为AE中点时,其他条件不变,连接正方形的对角线BD,MN 与BD交于点G,连接BF,此时有结论:BF=FG,请利用图2做出证明.
(3)如图3:当点E为直线BC上的动点时,如果(2)中的其他条件不变,直线MN分别交直线AB、CD于点M、N,请你直接写出线段AE与MN之间的数量关系、线段BF与FG之间的数量关系.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)在图1中,过点D作PD∥MN交AB于P,则∠APD=∠AMN,
∵正方形ABCD,
∴AB=AD,AB∥DC,∠DAB=∠B=90°,
∴四边形PMND是平行四边形且PD=MN,
∵∠B=90°,
∴∠BAE+∠BEA=90°,
∵MN⊥AE于F,
∴∠BAE+∠AMN=90°,
∴∠BEA=∠AMN=∠APD,
又∵AB=AD,∠B=∠DAP=90°,
∴△ABE≌△DAP,
∴AE=PD=MN;
(2)在图2中,连接AG、EG、CG,
由正方形的轴对称性△ABG≌△CBG,
∴AG=CG,∠GAB=∠GCB,
∵MN⊥AE于F,F为AE中点,
∴AG=EG,
∴EG=CG,∠GEC=∠GCE,
∴∠GAB=∠GEC,
由图可知∠GEB+∠GEC=180°,
∴∠GEB+∠GAB=180°,
又∵四边形ABEG的内角和为360°,∠ABE=90°,
∴∠AGE=90°,
在Rt△ABE 和Rt△AGE中,AE为斜边,F为AE的中点,
∴BF=
AE,FG=
AE,
∴BF=FG;
(3)①AE与 MN的数量关系是:AE=MN,理由是:
如图3,过N作NQ⊥AB于Q,
∵∠NMQ=∠AMF,∠AMF=∠AEB,
∴∠AEB=∠NMQ,
∵AB=BC=QN,∠ABE=∠NQM=90°,
∴△AEB≌△NMQ,
∴AE=MN;
②BF与FG的数量关系是:BF=FG,
理由是:如图4,连接AG、EG、CG,
同理得:∠GAD=∠GCD,∠GEC=∠GCE,
∵∠GCE+∠GCD=90°,
∴∠GAD+∠GEC=90°,
∵AD∥EC,
∴∠DAE+∠AEC=180°,
∴∠AEG+∠EAG=90°,
∴∠AGE=90°,
在Rt△ABE 和Rt△AGE中,AE为斜边,F为AE的中点,
∴BF=
AE,FG=
AE,
∴BF=FG.
∵正方形ABCD,
∴AB=AD,AB∥DC,∠DAB=∠B=90°,
∴四边形PMND是平行四边形且PD=MN,
∵∠B=90°,
∴∠BAE+∠BEA=90°,
∵MN⊥AE于F,
∴∠BAE+∠AMN=90°,
∴∠BEA=∠AMN=∠APD,
又∵AB=AD,∠B=∠DAP=90°,
∴△ABE≌△DAP,
∴AE=PD=MN;
(2)在图2中,连接AG、EG、CG,
由正方形的轴对称性△ABG≌△CBG,
∴AG=CG,∠GAB=∠GCB,
∵MN⊥AE于F,F为AE中点,
∴AG=EG,
∴EG=CG,∠GEC=∠GCE,
∴∠GAB=∠GEC,
由图可知∠GEB+∠GEC=180°,
∴∠GEB+∠GAB=180°,
又∵四边形ABEG的内角和为360°,∠ABE=90°,
∴∠AGE=90°,
在Rt△ABE 和Rt△AGE中,AE为斜边,F为AE的中点,
∴BF=
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∴BF=FG;
(3)①AE与 MN的数量关系是:AE=MN,理由是:
如图3,过N作NQ⊥AB于Q,
∵∠NMQ=∠AMF,∠AMF=∠AEB,
∴∠AEB=∠NMQ,
∵AB=BC=QN,∠ABE=∠NQM=90°,
∴△AEB≌△NMQ,
∴AE=MN;
②BF与FG的数量关系是:BF=FG,
理由是:如图4,连接AG、EG、CG,
同理得:∠GAD=∠GCD,∠GEC=∠GCE,
∵∠GCE+∠GCD=90°,
∴∠GAD+∠GEC=90°,
∵AD∥EC,
∴∠DAE+∠AEC=180°,
∴∠AEG+∠EAG=90°,
∴∠AGE=90°,
在Rt△ABE 和Rt△AGE中,AE为斜边,F为AE的中点,
∴BF=
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∴BF=FG.
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