设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.

Question

设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为 ,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若 · + · =8,求k的值.

Answer 1

设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为 ,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若 · + · =8,求k的值.

(1) + =1   (2) k=±

解:(1)设F(-c,0),由 = ,知a= c.
过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,
代入椭圆方程有 + =1,
解得y=± ,
于是 = ,解得b= ,
又a ² -c ² =b ² ,从而a= ,c=1,
所以椭圆的方程为 + =1.
(2)设点C(x ₁ ,y ₁ ),D(x ₂ ,y ₂ ),
由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1).
由方程组 消去y,整理得(2+3k ² )x ² +6k ² x+3k ² -6=0,
则x ₁ +x ₂ =- ,x ₁ x ₂ = .
因为A(- ,0),B( ,0),
所以 · + · =(x ₁ + ,y ₁ )·( -x ₂ ,-y ₂ )+(x ₂ + ,y ₂ )·( -x ₁ ,-y ₁ )=6-2x ₁ x ₂ -2y ₁ y ₂ =6-2x ₁ x ₂ -2k ² (x ₁ +1)(x ₂ +1)
=6-(2+2k ² )x ₁ x ₂ -2k ² (x ₁ +x ₂ )-2k ² =6+ .
由已知得6+ =8,解得k=± .