已知定点F（0，1），定直线l：y=-1，动圆M过点F，且与直线l相切．（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线

Question

已知定点F（0，1），定直线l：y=-1，动圆M过点F，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l₁，l₂，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）设点M到直线l的距离为d，依题意|MF|=d．
设M（x，y），则有√(x2+(y-1)2)=|y+1|．
化简得x²=4y．
所以点M的轨迹C的方程为x²=4y．
（Ⅱ）设l_AB：y=kx+1，
代入x²=4y中，得x²-4kx-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．
所以|AB|=√(1+k2)•|x1-x2|=4(k2+1)．
因为C：x²=4y，即y=(x2)/(4)，所以y′=(x)/(2)．
所以直线l₁的斜率为k1=(x1)/(2)，直线l₂的斜率为k2=(x2)/(2)．
因为k1k2=(x1x2)/(4)=-1，
所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形．
所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．
因为|AB|=4（k²+1），
所以当k=0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．