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如图①,现有一张三角形ABC纸片,沿BC边上的高AE所在的直线翻折,使得点C与BC边上的点D重合.(1)填空:△ADC是三角形;(2)若AB=15,AC=13,BC=14,求BC边上的高AE的长;(3)如图②,若
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如图①,现有一张三角形ABC纸片,沿BC边上的高AE所在的直线翻折,使得点C与BC边上的点D重合.
(1)填空:△ADC是___三角形;
(2)若AB=15,AC=13,BC=14,求BC边上的高AE的长;
(3)如图②,若∠DAC=90°,试猜想:BC、BD、AE之间的数量关系,并加以证明.

(1)填空:△ADC是___三角形;
(2)若AB=15,AC=13,BC=14,求BC边上的高AE的长;
(3)如图②,若∠DAC=90°,试猜想:BC、BD、AE之间的数量关系,并加以证明.

▼优质解答
答案和解析
(1)∵三角形ABC纸片,沿BC边上的高AE所在的直线翻折,使得点C与BC边上的点D重合.
∴AD=AC,
∴△ADC是等腰三角形;
故答案为:等腰.
(2)设CE=x,则BE=14-x,
在Rt△AEC中,由勾股定理得:AE2=AC2-CE2,
∴AE2=132-x2
在Rt△ABE中,由勾股定理得:AE2=AB2-BE2,
∴AE2=152-(14-x)2
∴132-x2=152-(14-x)2
解得:x=5,
在Rt△AEC中,由勾股定理得:AE=
=
=
=12.
(3)猜想BC、BD、AE之间的数量关系为:BC-BD=2AE.
证明如下:
由(1)得:△ADC是等腰三角形,又∠DAC=90°,
∴△ADC是等腰直角三角形
又AE是CD边上的高,
∴DE=CE,∠DAE=∠EAC=
∠DAC=
×90°=45°,
∴△AED与△AEC都是等腰直角三角形,
∴DE=AE=EC,即CD=2AE.
∵BC-BD=CD
∴BC-BD=2AE.
∴AD=AC,
∴△ADC是等腰三角形;
故答案为:等腰.
(2)设CE=x,则BE=14-x,
在Rt△AEC中,由勾股定理得:AE2=AC2-CE2,
∴AE2=132-x2
在Rt△ABE中,由勾股定理得:AE2=AB2-BE2,
∴AE2=152-(14-x)2
∴132-x2=152-(14-x)2
解得:x=5,
在Rt△AEC中,由勾股定理得:AE=
AC2-CE2 |
132-52 |
144 |
(3)猜想BC、BD、AE之间的数量关系为:BC-BD=2AE.
证明如下:
由(1)得:△ADC是等腰三角形,又∠DAC=90°,
∴△ADC是等腰直角三角形
又AE是CD边上的高,
∴DE=CE,∠DAE=∠EAC=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴△AED与△AEC都是等腰直角三角形,
∴DE=AE=EC,即CD=2AE.
∵BC-BD=CD
∴BC-BD=2AE.
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