如图①，在△ABC中∠ACB=90°，AC=BC，M是AB中点，P为AB上一动点（P不与A、B重合），PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．（1）求证：ME=MF，ME⊥MF；（2）如点P移动至AB的延长线上，如图②，是否仍有如上结

Question

如图①，在△ABC中∠ACB=90°，AC=BC，M是AB中点，P为AB上一动点（P不与A、B重合），PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．
（1）求证：ME=MF，ME⊥MF；
（2）如点P移动至AB的延长线上，如图②，是否仍有如上结论？请予以证明．

Answer 1

证明：（1）连接CM，

∵∠ACB=90°，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEFP是矩形，
∴FP=CE，
∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠ACM=∠B=45°，CM⊥AB，CM=BM，
∵PF⊥BC，
∴△BFP为等腰直角三角形，
∴PF=BF，
∴CE=PF=BF，
在△ECM和△FBM中，

CE=BF

∠ACM=∠B

CM=BM

，
∴△ECM≌△FBM（SAS），
∴EM=FM，∠EMC=∠FMB，
∵∠FMB+∠CMF=90°，
∴∠EMC+∠CMF=90°．即EM⊥FM；
（2）连接CM，

∵P'F⊥CF，P'E⊥CE，
∴四边形CEP'F是矩形，∴P'F=CE，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBM=∠BCM=45°，BM=BM，CM⊥AB，
∴∠MBF=∠MCE=135°，∠FBP'=45°，
∴BF=FP'，
在△CEM和△BFM中，

CM=BM

∠MCE=∠MBF

CE=BF

，
∴△CEM≌△BFM（SAS），
∴ME=MF，∠CME=∠BMF，
∵∠CMB+∠EMB=90°，
∴∠EMB+∠FMB=∠EMF=90°，即EM⊥FM．