已知函数Y=f（x）对任意的x,y∈R,均有f（x）+f（x）=f（x+y）,且当x＞0时f（x)＜0,证明fx在R上是递减

Question

已知函数Y=f（x）对任意的x,y∈R,均有f（x）+f（x）=f（x+y）,且当x＞0时f（x )＜0,证明fx在R上是递减

Answer 1

证：
由f（x）+f（y）=f（x+y）
得f(x+y)-f(y)=f(x)
任取x1＜x2
则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1)
因为x1＜x2,
所以x2-x1＞0
又且当x＞0时f（x )＜0
故f(x2-x1)＜0
所以f(x2)-f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)
所以f(x)在R上是减函数.
证毕.