已知函数f（x）=alog2|x|+1（a≠0），定义函数F（x）=f(x)，x>0-f(x)，x<0，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是奇函数；③当a>0时，若x1x2<0，x1+x2>0，则F（x1）+F（x2）>0成

Question

已知函数f（x）=alog₂|x|+1（a≠0），定义函数F（x）=

f(x)，x>0

-f(x)，x<0

，给出下列命题：
①F（x）=|f（x）|；
②函数F（x）是奇函数；
③当a>0时，若x₁x₂<0，x₁+x₂>0，则F（x₁）+F（x₂）>0成立；
④当a<0时，函数y=F（x²-2x-3）存在最大值，不存在最小值，
其中所有正确命题的序号是 ___．

Answer 1

①因为|f（x）|=

f(x)，x>0

-f(x)，x<0

，
∴F（x）=

f(x)，x>0

-f(x)，x<0

，
这两个函数的定义不相同，所以不是同一个函数，F（x）=|f（x）|；
故①不正确，
②x>0时，F（x）=f（x）=alog₂|x|+1，
-x<0，F（x）=-f（x）=-（alog₂|x|+1），
当x<0时，F（x）=f（x）=alog₂|x|+1，
-x>0，F（-x）=f（-x）=（alog₂|-x|+1）=alog₂|x|+1=-F（x），
所以函数F（x）是奇函数，故②正确
③当a>0时，函数F（x）=f（x）=alog₂x+1，在（0，+∞）上是单调递增函数，
若x₁x₂<0，x₁+x₂>0，
不妨设x₁>0，则x₂<0，x₁>-x₂>0，
所以F（x₁）>F（x₂），
由因为函数F（x）是奇函数，
所以F（x₁）>-F（x₂），F（x₁）+F（x₂）>0，故③正确．
④y=F（x²-2x-3）=

alog2(x2-2x-3)+1，x>3或x<-1

-alog2(-x2+2x+3)-1，-1<x<3

当x>3或x<-1，因为a<0，所以y=alog₂（x²-2x-3）+1，
即没有最大值，也没有最小值，即函数y=F（x²-2x-3）的值域为（-∞，+∞），
故④错误
故答案为：②③