在直角三角形ABC中,若角ACB是直角,CD为AB边上的高,则1/CD^2=1/CA^2+1/CB^2,类似地在三棱锥P-ABC中,三侧棱PA/PB/PC两两垂直,PO是底面三角形ABC上的高,猜测PO/PA/PB/PC之间的数量关系,并证明

Question

在直角三角形ABC中,若角ACB是直角,CD为AB边上的高,则1/CD^2=1/CA^2+1/CB^2,类似地
在三棱锥P-ABC中,三侧棱PA/PB/PC两两垂直,PO是底面三角形ABC上的高,猜测PO/PA/PB/PC之间的数量关系,并证明

Answer 1

1/PO²=1/PA²＋PB²＋PC²
证明：连接BO交AC于D,连接PD.
因为PB⊥PA,PB⊥PC,PB⊥面PAC,所以PB⊥AC
又因为PO⊥AC,所以AC⊥面PBD,所以AC⊥PD；
因为PO⊥ABC,所以PO⊥BD
由已知可知：1/PO²＝1/PB²＋1/PD²
1/PD²＝1/PA²＋1/PC²
所以1/PO²＝1/PA²＋1/PB²＋1/PC²