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(2013•嘉兴模拟)已知函数f(x)=x2+bx+c,(b,c∈R),集合A={x丨f(x)=0},B={x|f(f(x))=0},若存在x0∈B,x0∉A则实数b的取值范围是()A.b≠0B.b<0或b≥4C.0≤b<4D.b≤4或b≥4
题目详情
(2013•嘉兴模拟)已知函数f(x)=x2+bx+c,(b,c∈R),集合A={x丨f(x)=0},B={x|f(f(x))=0},若存在x0∈B,x0∉A则实数b的取值范围是( )
A. b≠0
B. b<0或b≥4
C. 0≤b<4
D. b≤4或b≥4
A. b≠0
B. b<0或b≥4
C. 0≤b<4
D. b≤4或b≥4
▼优质解答
答案和解析
由题意可得,A是函数f(x)的零点构成的集合.
由f(f(x))=0,可得 (x2+bx+c)2+b(x2+bx+c)+c=0,把x2+bx+c=0代入,解得c=0.
故函数f(x)=x2+bx,故由f(x)=0可得 x=0,或x=-b,故A={0,-b}.
方程f(f(x))=0,即 (x2+bx)2+b(x2+bx)=0,即 (x2+bx)(x2+bx+b)=0,
解得x=0,或x=-b,或 x=
.
由于存在x0∈B,x0∉A,故b2-4b≥0,解得b≤0,或b≥4.
由于当b=0时,不满足集合中元素的互异性,故舍去.
即实数b的取值范围为{b|b<0或b≥4 },
故选B.
由f(f(x))=0,可得 (x2+bx+c)2+b(x2+bx+c)+c=0,把x2+bx+c=0代入,解得c=0.
故函数f(x)=x2+bx,故由f(x)=0可得 x=0,或x=-b,故A={0,-b}.
方程f(f(x))=0,即 (x2+bx)2+b(x2+bx)=0,即 (x2+bx)(x2+bx+b)=0,
解得x=0,或x=-b,或 x=
−b±
| ||
2 |
由于存在x0∈B,x0∉A,故b2-4b≥0,解得b≤0,或b≥4.
由于当b=0时,不满足集合中元素的互异性,故舍去.
即实数b的取值范围为{b|b<0或b≥4 },
故选B.
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