如图点F为双曲线C的左焦点，左准线l交x轴于点Q，点P是l上的一点|PQ|=|FQ|=1，且线段PF的中点M在双曲线C的左支上．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若过点F的直线m与双曲线C的左右两支分别交

Question

如图点F为双曲线C的左焦点，左准线l交x轴于点Q，点P是l上的一点|PQ|=|FQ|=1，且线段PF的中点M在双曲线C的左支上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若过点F的直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，设

FB

＝λ

FA

，当λ∈[6，+∞）时，求直线m的斜率k的取值范围．

FB

＝λ

FA

，当λ∈[6，+∞）时，求直线m的斜率k的取值范围．

FB

FBFB

FA

FAFA

Answer 1

（Ⅰ）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），
则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1，∴b²=c．------------------------（2分）
又M(−c+(1)/(2)，(1)/(2))在双曲线上，∴(((1)/(2)−c)2)/(a2)−(((1)/(2))2)/(b2)＝1．
联立①②③，解得a＝b＝√(2)，c=2．∴双曲线方程为x²-y²=2．--------（4分）
注：对点M用第二定义，得e＝√(2)，可简化计算．
（Ⅱ）F（-2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），则
由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁．--------------------（6分）
由

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问题解析

（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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(x2)/(a2)x2x2x22a2a2a22−(y2)/(b2)y2y2y22b2b2b22＝1（a＞0，b＞0），
则c²2=a²2+b²2，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1，∴b²=c．------------------------（2分）
又M(−c+(1)/(2)，(1)/(2))在双曲线上，∴(((1)/(2)−c)2)/(a2)−(((1)/(2))2)/(b2)＝1．
联立①②③，解得a＝b＝√(2)，c=2．∴双曲线方程为x²-y²=2．--------（4分）
注：对点M用第二定义，得e＝√(2)，可简化计算．
（Ⅱ）F（-2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），则
由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁．--------------------（6分）
由

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问题解析

（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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|FQ|＝c−(a2)/(c)a2a2a22ccc＝1，∴b²2=c．------------------------（2分）
又M(−c+(1)/(2)，(1)/(2))在双曲线上，∴(((1)/(2)−c)2)/(a2)−(((1)/(2))2)/(b2)＝1．
联立①②③，解得a＝b＝√(2)，c=2．∴双曲线方程为x²-y²=2．--------（4分）
注：对点M用第二定义，得e＝√(2)，可简化计算．
（Ⅱ）F（-2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），则
由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁．--------------------（6分）
由

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问题解析

（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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M(−c+(1)/(2)111222，(1)/(2)111222)在双曲线上，∴(((1)/(2)−c)2)/(a2)−(((1)/(2))2)/(b2)＝1．
联立①②③，解得a＝b＝√(2)，c=2．∴双曲线方程为x²-y²=2．--------（4分）
注：对点M用第二定义，得e＝√(2)，可简化计算．
（Ⅱ）F（-2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），则
由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁．--------------------（6分）
由

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问题解析

（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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(((1)/(2)−c)2)/(a2)((1)/(2)−c)2((1)/(2)−c)2((1)/(2)111222−c)22a2a2a22−(((1)/(2))2)/(b2)((1)/(2))2((1)/(2))2((1)/(2)111222)22b2b2b22＝1．
联立①②③，解得a＝b＝√(2)，c=2．∴双曲线方程为x²-y²=2．--------（4分）
注：对点M用第二定义，得e＝√(2)，可简化计算．
（Ⅱ）F（-2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），则
由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁．--------------------（6分）
由

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问题解析

（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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a＝b＝√(2)

2

22，c=2．∴双曲线方程为x²2-y²2=2．--------（4分）
注：对点M用第二定义，得e＝√(2)，可简化计算．
（Ⅱ）F（-2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），则
由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁．--------------------（6分）
由

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问题解析

（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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e＝√(2)

2

22，可简化计算．
（Ⅱ）F（-2，0），设A（x₁1，y₁1），B（x₂2，y₂2），m：y=k（x+2），则
由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁．--------------------（6分）
由

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问题解析

（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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FB

FBFBFB＝λ

FA

FAFAFA，得x₂2=λ（x₁1+2）-2，y₂2=λy₁1．--------------------（6分）
由

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（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：

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（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

问题解析

问题解析

（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

（1）设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），则c²=a²+b²，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．(x2)/(a2)x2x2x22a2a2a22−(y2)/(b2)y2y2y22b2b2b22＝1（a＞0，b＞0），则c²2=a²2+b²2，|FQ|＝c−(a2)/(c)＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．|FQ|＝c−(a2)/(c)a2a2a22ccc＝1由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x₁1，y₂2），B（x₂2，y₂2），m：y=k（x+2），由

FB

＝λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

FB

FBFBFB＝λ

FA

FAFAFA，得x₂2=λ（x₁1+2）-2，y₂2=λy₁1，由

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

y＝k(x+2)

x2−y2＝2

y＝k(x+2)y＝k(x+2)y＝k(x+2)x2−y2＝2x2−y2＝2x2−y2＝22−y2＝22＝2，得（1-k²2）y²2-4ky+2k²2=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．

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本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

本题考点：

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

考点点评：

考点点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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