``麻烦给出详细的过程题1：点F为双曲线C的左焦点,左准线L交X轴于点Q,点P是L上的一点,已知|PQ|=|FQ|=1,且线段PF的中点M在双曲线C的左支上.（1）求双曲线C的标准方程（2）若过点F的直线M与双曲

Answer 1

因为|PQ|=|FQ|=1,所以△FPQ是等腰直角三角形,斜边|FP|=√2
PF的中点M在双曲线C的左支上,过M作MH⊥PQ于H,则|MH|=|FQ|/2=0.5,|MF|=|PF|/2=√2/2,所以双曲线的离心率e=|MF|/|MH|=√2 ①
双曲线的焦准距b²/c=|FQ|=1 ②,a²+b²=c² ③
①②③联立解得：a=b=√2,c=2
（1）双曲线C的标准方程为x²/2 - y²/2 =1
（2）左准线方程为x=-a²/c=-1,F点坐标为(-2,0),设A坐标(x1,y1),B坐标(x2,y2)
FB的向量=(x2+2,y2)
FA的向量=(x1+2,y1)
FB的向量=N倍FA的向量,即x2+2=N(x1+2) ①
由于N≥6,故A在左支上,B在右支上,即x1√2
A到准线x=-1的距离D1=|x1+1|=-1-x1,
B到准线x=-1的距离D2=|x2+1|=x2+1
AB两点在双曲线上,到焦点的距离等于到准线距离乘以离心率
所以N=|FB|/|FA|=D2/D1=(x2+1)/(-1-x1) ②
由①②解得：x1=(1/N -3)/2,x2=(N-3)/2
设直线AB斜率为k,解析式为y=k(x+2),与双曲线方程联立得：
(1-k²)x²-4k²x-4k²-2=0 由韦达定理得：x1+x2=4k²/(1-k²)
所以=(1/N -3)/2 + (N-3)/2 =4k²/(1-k²)
整理得到k²=1- 8N/(N+1)²
构造一个函数f(x)=1- 8x/(x+1)²,易证f(x)在区间[6,+∞)上单调递增,且x趋向于+∞时,f(x)趋向于1,最小值f(6)=1/49
∴1/49≤k²≤1
所以k的取值范围是(-1,-1/7]∪[1/7,1)
2.设双曲线方程为x²/a² - y²/b² =1,设左焦点坐标(-c,0),准线方程x=±a²/c与直线y=(-3/4)(x+c)联立解得两交点MN坐标x1=-a²/c,y1=(-3/4)(x1+c)
x2=a²/c,y1=(-3/4)(x2+c).
由于以MN为直径的圆过原点,所以OM⊥ON,即x1x2+y1y2=0
x1x2+(9/16)(x1+c)(x2+c)=0
(25/16)x1x2 + (9c/16)(x1+x2) + 9c²/16=0
(-25/16)a^4/c² +9c²/16=0
25a^4=9c² => c/a=5/3 => b/a=4/3 ①
由于点(3,2)在双曲线上,所以9/a² - 4/b² =1 ②
①②解得：a²=27/4,b²=12
所以双曲线方程为4x²/27 - y²/12 =1