已知椭圆的中点在原点,左焦点为F（-√3,0）,上顶点为D(0,1),设点A（1,1/2）.(1)求椭圆的标准方程（2）若p是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.（3求过原点O的直线叫椭圆于点B,C,求△ABC面

Question

已知椭圆的中点在原点,左焦点为F（-√3,0）,上顶点为D(0,1),设点A（1,1/2）.
(1)求椭圆的标准方程
（2）若p是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.
（3求过原点O的直线叫椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值

Answer 1

c=√3,b=1,a=2
(1),x^2/4+y^2=1
(2),M(x,y)
xP+xA=2x,yP+yA=2y
xP=2x-1,yP=2y-1/2
(2x-1)^2/4+(2y-1/2)^2=1
(x-1/2)^2+(y-0.25)^2/0.25=1
(3),y=kx
x^2/4+(kx)^2=1
x^2=4/(1+4k^2)
|xB-xC|=4/√(1+4k^2)
|yB-yC|=4k√(1+4k^2)
BC^2=(xB-xC)^2+(yB-yC)^2=16(1+k^2)/(1+4k^2)
|BC|=4√[(1+k^2)/(1+4k^2)]
kx-y=0
h=|k-1/2|/√(1+k^2)
s=(1/2)*|BC|*h=(1/2)*4√[(1+k^2)/(1+4k^2)]*|k-1/2|/√(1+k^2)
(4s^2-4)k^2+4k+s^2-1=0
s^2*(s^2-2)<=0
△ABC面积的最大值=√2