已知中心在原点的椭圆C的上焦点坐标为（0，1），离心率等于12．（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明斜率为1的所有直线与椭圆C相交得到的弦的中点共线；（3）如图中的曲线为某椭圆E的一

Question

已知中心在原点的椭圆C的上焦点坐标为（0，1），离心率等于(1)/(2)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明斜率为1的所有直线与椭圆C相交得到的弦的中点共线；
（3）如图中的曲线为某椭圆E的一部分，试作出椭圆E的中心，并写出作图步骤．

Answer 1

（1） 设椭圆的标准方程为：(y2)/(a2)+(x2)/(b2)=1，（a>b>0），
∵c=1，(c)/(a)=(1)/(2)，a²=b²+c²，
解得c=1，a=2，b²=3．
∴椭圆C的标准方程为(y2)/(4)+(x2)/(3)=1；
（2）证明：设斜率为1的直线方程为：y=x+m，
设直线与椭圆相交于点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中点为P（x₀，y₀）．
则(y21)/(4)+(x21)/(3)=1，(y22)/(4)+(x22)/(3)=1，
∴((y1+y2)(y1-y2))/(4)+((x1+x2)(x1-x2))/(3)=0，
∴(2y0)/(4)×1+(2x0)/(3)=0，
化为y0=-(4)/(3)x0．
∴斜率为1的所有直线与椭圆C相交得到的弦的中点都在直线y=-(4)/(3)x直线上．
（3） 利用（2）的结论可知：斜率为1的直线的所有直线与椭圆C相交得到的弦的中点共线并且都在直线一条直线上．
同理斜率为2的直线与椭圆C相交得到的弦的中点共线并且都在另外一条直线上，上述两条直线的交点即为椭圆的中心．