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已知中心在原点的椭圆C的上焦点坐标为(0,1),离心率等于12.(1)求椭圆C的标准方程;(2)证明斜率为1的所有直线与椭圆C相交得到的弦的中点共线;(3)如图中的曲线为某椭圆E的一
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已知中心在原点的椭圆C的上焦点坐标为(0,1),离心率等于
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)证明斜率为1的所有直线与椭圆C相交得到的弦的中点共线;
(3)如图中的曲线为某椭圆E的一部分,试作出椭圆E的中心,并写出作图步骤.
1 |
2 |
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)证明斜率为1的所有直线与椭圆C相交得到的弦的中点共线;
(3)如图中的曲线为某椭圆E的一部分,试作出椭圆E的中心,并写出作图步骤.
▼优质解答
答案和解析
(1) 设椭圆的标准方程为:
+
=1,(a>b>0),
∵c=1,
=
,a2=b2+c2,
解得c=1,a=2,b2=3.
∴椭圆C的标准方程为
+
=1;
(2)证明:设斜率为1的直线方程为:y=x+m,
设直线与椭圆相交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中点为P(x0,y0).
则
+
=1,
+
=1,
∴
+
=0,
∴
×1+
=0,
化为y0=-
x0.
∴斜率为1的所有直线与椭圆C相交得到的弦的中点都在直线y=-
x直线上.
(3) 利用(2)的结论可知:斜率为1的直线的所有直线与椭圆C相交得到的弦的中点共线并且都在直线一条直线上.
同理斜率为2的直线与椭圆C相交得到的弦的中点共线并且都在另外一条直线上,上述两条直线的交点即为椭圆的中心.
y2 |
a2 |
x2 |
b2 |
∵c=1,
c |
a |
1 |
2 |
解得c=1,a=2,b2=3.
∴椭圆C的标准方程为
y2 |
4 |
x2 |
3 |
(2)证明:设斜率为1的直线方程为:y=x+m,
设直线与椭圆相交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中点为P(x0,y0).
则
| ||
4 |
| ||
3 |
| ||
4 |
| ||
3 |
∴
(y1+y2)(y1-y2) |
4 |
(x1+x2)(x1-x2) |
3 |
∴
2y0 |
4 |
2x0 |
3 |
化为y0=-
4 |
3 |
∴斜率为1的所有直线与椭圆C相交得到的弦的中点都在直线y=-
4 |
3 |
(3) 利用(2)的结论可知:斜率为1的直线的所有直线与椭圆C相交得到的弦的中点共线并且都在直线一条直线上.
同理斜率为2的直线与椭圆C相交得到的弦的中点共线并且都在另外一条直线上,上述两条直线的交点即为椭圆的中心.
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