已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),点P在以F1,F2为焦点的椭圆C上且PF1的绝对值,F1F2的绝对值,PF2的绝对值构成等差数列已知椭圆方程是x^2/4+y^2/3=1动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直

Question

已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),点P在以F1,F2为焦点的椭圆C上
且PF1的绝对值,F1F2的绝对值,PF2的绝对值构成等差数列
已知椭圆方程是x^2/4+y^2/3=1
动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F1M⊥l,F2N⊥l,求四边形F1MNF1面积S的最大值

Answer 1

F1M⊥l,F2N⊥l,F1M∥F2N,l的斜率为k,则F1M,F2N的斜率为-1/k
F1M的方程：x+ky+1=0（点斜式化为一般方程）
F2N的方程：x+ky-1=0
过原点O作OH⊥l,则OH为梯形F1MNF2的中位线
|MN|=|-1-1|/√(k^2+1)=2/√(k^2+1)
|OH|=|k*0-0+m|/√(k^2+1)=|m|/√(k^2+1)
四边形F1MNF2面积S=|OH|·|MN|=2|m|/(k^2+1)
直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,y=kx+m带入椭圆方程得：
(4k^2+3)x^2+8kmx+4m^2-12=0
Δ=64k^2m^2-4(4k^2+3)(4m^2-12)=0
m^2=4k^2+3
S^2=4m^2/(k^2+1)=4(4k^2+3)/(k^2+1)=16/(k^2+1)-4/(k^2+1)^2
设u=1/(k^2+1),0＜u≤1
S^2=16u-4u^2=-4(u-2)^2+16
u=1时,取最大值S^2=12,S(max)=2√3