如果一个三角形的三边abc满足1/a+1/c=2/b那么b边的对角必为锐角.理由?

Question

如果一个三角形的三边abc满足1/a+1/c=2/b那么b边的对角必为锐角.理由?

Answer 1

b边所对的角为B
根据题意,1/a+1/c=2/b有
2ac=b*(a+c) .(1)式
又由a*a+c*c≥2a*c得出
a*a+c*c/2ac≥1 .(2)式
由于组成三角形的条件是任意两边之和大于第三边
有a+c>b,所以b/(a+c)<1 .(3)式
根据余弦定理：
cosB=（a*a+c*c-b*b）/2a*c
=(a*a+c*c)/2ac-b*b/2ac .(4)式
将（1）（2）(3)式代入（4）中有
cosB≥1-b*b/(b*(a+c))=1-b/(a+c)>1-1=0
即cosB>0,在（0,π）中cosB>0即代表他是锐角