高等函数证明题!设f(x)在[0,1]上连续!且有f(0)=0,f(1)=1证明至少存在一点b在(0,1)使得f(b)=1-b..

Question

高等函数证明题!
设f(x)在[0,1]上连续!且有f(0)=0,f(1)=1 证明至少存在一点b在(0,1) 使得f(b)=1-b ..

Answer 1

楼上的证明是有问题的.
其一,由已知,根本得不出函数f(x)在(0,1)上为单调增函数!
其二,你要引入的函数好像应该是y=1-f(x),而不是y=1-b,因为在你最后确定了点b后,y=1-b变成了一个常数.当然,还有y=1-b图像是函数值在(0,1)间的单调减函数,是犯了和上面的一同样的错误.
其三,证明过程中的语言：在同一坐标轴上画出这两个图像则.必有一交点.通常是不允许的.因为如果允许用这样的语言证明问题,那么连续函数的介值定理,只要用类似你说的一句话就证明了.
上面所言,皆对于数学.请楼上学兄恕弟乱言之罪.
下面,我试着给出一个证明.
证：
定义一个新函数
g(x)=f(x)+x-1
首先,易证g(x)也在[0,1]连续.（理由是几个连续函数的和仍然是连续函数）
其次有
g(0)=f(0)+0-1=-1
g(1)=f(1)+1-1=1
所以,据连续函数的介值定理,知
至少存在一点b在(0,1) 使得
g(b)=0
即
f(b)+b-1=0
从而
f(b)=1-b
这就证明了我们所要证明的.