关于f(x)=x(x是无理数)的连续性问题1、大学课本上说的是连续的,但是全体有理数不连续.2、函数连续性的定义;领域内有定义,当△x趋近于0时,△y趋近于0.则函数连续.因此有了一个判断准则,函

Question

关于f(x)=x(x是无理数)的连续性问题
1、大学课本上说的是连续的,但是全体有理数不连续.
2、函数连续性的定义;领域内有定义,当△x趋近于0时,△y趋近于0.则函数连续.因此有了一个判断准则,函数连续满足3个条件：1）左右极限均存在,2）左右极限相等,3）极限等于函数值
3、反比例函数书上说在整个定义域内不连续.
那么依据定义：连续必须要求有定义,即对于无理数函数f(x),在原点处x=0,显然无定义,即在x=0处不连续.很明显fx在R上不连续（很多点处都无定义,当然也就不连续）.所以,一般的讨论不是讨论函数在R上是否连续,而是在其定义区间内是否连续（定义区间：包含在定义域内的区间；左端点的连续只右连续,右端点连续指左连续 同济版教材原话）.那么对于反比例函数来说,它的整个定义区间是伤寒杂病论（-∞,0）U（0,+∞）,是两个开区间的并集.显然在X=0处无定义,因而不能用x=0处不连续,来说明该函数不连续.那么反比例函数为啥不连续呢?
另一方面,如果能用无定义的点处不连续,来说明一个函数不连续,那么只要定义域不是整个R,而只是R上的一个真子集,那么该函数必不连续.因为那样,我总能找到一个无定义的点.事实上对于函数lnx没有人说它不连续,因此个人认为函数连续指的是在其定义区间上是否连续.按照此观点,全体无理数是连续的,全体有理数也是连续的（本部分分析,似乎不太清晰）
再者,如果无理数连续,有理数不连续.我是否可以猜想：1)一个在其定义域内（或某个定义区间内）连续的函数,在其定义域内（或某个定义区间内）任意挖去有限个点,该函数仍然连续.2）设f（x）是其定义域内（或某个定义区间内）的连续函数,令其定义域内（或某个定义区间内）的点的个数（即定义域的元素个数）为c,在其中任意挖去a个点,且满足a/c是一个无穷小,那么该函数仍然连续.
最后：如果设函数f(x)=x(x分别是实数、有理数、无理数,整数)记他们的图像分别为a、b、c、d.很明显d是一些离散的点,是a的一部分,那么b,c,是否也是a的一部分?或者b,c与a完全重合?d是b的一部分么?

Answer 1

没有很高数学造诣,但对你的问题颇感兴趣,略表个人感想仅作探讨：原题的函数令我联想到另一著名的狄利赫雷函数,不妨比较有助理解；

无理数集虽稠密但并仍有缝隙,两个无理数间必有一有理数存在,与有理数集一样都不连续.

函数的连续性是其局部的解析性质,你的说明未包含单侧连续的情形.

反比例函数不是初等函数,其定义域是两个分段的不连续区间,显然不宜讨论一致连续性.

全体无理数是在数轴上不可列的离散点,它的定义域也非连续区间.