一个函数连续则它有原函数,那么它的原函数也是连续的吗?若连续,给出证明举一个例子，说明连续函数的原函数不是初等函数，且不连续

Question

一个函数连续则它有原函数,那么
它的原函数也是连续的吗?若连续,给出证明
举一个例子，说明连续函数的原函数不是初等函数，且不连续

Answer 1

它的原函数写为F(x)=∫(下限为a 上限为x)f(x)dx
F(x+Δx)-F(x)
=∫(下限为a 上限为x+Δx)f(x)dx-∫(下限为a 上限为x)f(x)dx
=∫(下限为x 上限为x+Δx)f(x)dx
[积分中值定理 η在a和x之间]
=f(η)∫(下限为x 上限为x+Δx)dx
=f(η)Δx
当Δx→0 η→x
lim(F(x+Δx)-F(x))/Δx
=limf(η)
[由f(x)的连续性]
=f(x)
它的原函数连续
不是初等函数的函数有可能连续