在什么条件下,函数f(x)=|(x^a)*sin(1/x)（x不等于0）|0(x等于0)(1)在点x=0处连续（2）在点x=0处可导(3)在点x=0处导函数连续函数f(x)是分段函数

Question

在什么条件下,函数f(x)=|(x^a)*sin(1/x) （x不等于0）
|0 (x等于0)
(1)在点x=0处连续 （2）在点x=0处可导 (3)在点x=0处导函数连续
函数f(x)是分段函数

Answer 1

f(x)是分段函数,所以讨论连续性和可导性只能使用连续和导数的定义来做
1.连续则要求LIM[x->0]f(x)=f(0)=0
而要使LIM[x->0]f(x)=LIM[x->0]【x^a*sin(1/x)】=0
由于sin(1/x)是有界量,所以,应有x^a->0
因此a>0
f'(x)也是分段函数
2.
在x=0处可导,根据导数的定义
f'(0)=LIM[x->0]【[f(x)-f(0)]/x】
=LIM[x->0]【x^a*sin(1/x)/x】=LIM[x->0]【x^(a-1)*sin(1/x)】
由于sin(1/x)是有界量,且,x->0时极限不存在,要使上式极限存在,则必有
LIM[x->0]【x^(a-1)】存在且为0
所以
a>1
且f'(0)=0
3.a>1时函数在0点可导,且导数为0
当x0时,导函数
f'(x)=ax^(a-1)sin(1/x)+x^a*cos(1/x)*(-1/x^2)
=ax^(a-1)sin(1/x)-x^(a-2)*cos(1/x)
要使导函数连续,则必有
LIM[x->0]f'(x)=0
观察f'(x)的表达式可知当且仅当a>2时,满足条件
因此
a>2