等差数列的判定问题（一道）已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2S(n-1)Sn（n≥2,）a1=1.求证：1.{1/Sn}是等差数列.2.求an的表达式.

Question

等差数列的判定问题（一道）
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2S(n-1)Sn（n≥2,）a1=1.
求证：1.{1/Sn}是等差数列.
2.求an的表达式.

Answer 1

1.因为an=2S(n-1)Sn
an=Sn-S(n-1)
所以2S(n-1)Sn=Sn-S(n-1)
两边同时除以S(n-1)Sn
所以1/(sn) - 1/[s(n-1)] = -2
所以{1/Sn}是等差数列
2.因为1/(sn) - 1/[s(n-1)] = -2
所以1/S2-1/S1=-2
1/S3-1/S2=-2
...
1/Sn-1/S(n-1)=-2
所有相加 1/Sn-1/S1=-2(n-1)
因为a1=1
所以S1=1
1/Sn=-2n+3
Sn=1/-2n+3
S(n-1)=1/-2n+5
an=Sn-S(n-1)
=2/(3-2n)(5-2n)