古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．（1）第5个三角形数是，第n个“三角形数”是n(n+1)2n(n+1)2，

Question

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．
（1）第5个三角形数是______，第n个“三角形数”是

(n(n+1))/(2)

(n(n+1))/(2)

，第5个“正方形数”是______，第n个正方形数是______；
（2）经探究我们发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．
例如：①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10，④______，⑤______，…．
请写出上面第4个和第5个等式；
（3）在（2）中，请探究第n个等式，并证明你的结论．

Answer 1

（1）15，(n(n+1))/(2)，25，n²；

（2）25=10+15，36=15+21；

（3）(n+1)2＝(n(n+1))/(2)+((n+1)(n+2))/(2)，
∵右边=(n2+n)/(2)+(n2+3n+2)/(2)
=(2n2+4n+2)/(2)
=n²+2n+1=（n+1）²=左边，
∴原等式成立．
故答案为15，(n(n+1))/(2)，25，n²；25=10+15，36=15+21．