1.已知n属于N*,且有f(1)=1,f(n+1)=f(n)+n,求f(2),f(3),f(4),写出f(n)的表达式且证明所的结论2.在数列{an}中,已知a1=1/2,a(n+1)=3an/(an+3),求a2,a3,a4,猜想an的表达式,用数学归纳法证明

Question

1.已知n属于N*,且有f(1)=1,f(n+1)=f(n)+n,求f(2),f(3),f(4),写出f(n)的表达式且证明所的结论
2.在数列{an}中,已知a1=1/2,a(n+1)=3an/(an+3),求a2,a3,a4,猜想an的表达式,用数学归纳法证明

Answer 1

1.已知n属于N*,且有f(1)=1,f(n+1)=f(n)+n,求f(2),f(3),f(4),写出f(n)的表达式且证明所的结论
解析：∵n属于N*,且有f(1)=1,f(n+1)=f(n)+n,
f(2)=f(1)+1=2,f(3)= f(2)+2=4,f(4)= f(3)+3=7
f(n)=f(n-1)+(n-1)=f(1)+1+2+3+…+(n-2)+(n-1)=[n(n-1)+2]/2
2.在数列{an}中,已知a1=1/2,a(n+1)=3an/(an+3),求a2,a3,a4,猜想an的表达式,用数学归纳法证明
解析：∵在数列{an}中,已知a1=1/2,a(n+1)=3an/(an+3)
a(n+1)=3an/(an+3)=1/(1/3+1/an)
∴1/a(n+1)-1/an=1/3
设b(n+1)= 1/a(n+1),b(n)= 1/an
∴数列{bn}为首项b1＝2,公差d=1/3的等差数列
∴bn=2+(n-1)/3=(n+5)/3
∴an=3/(n+5)
∴a2=3/7,a3=3/8,a4=3/9
若求通项an,以上足以.
用数学归纳法证明
1)当n=1时
A1=3/6=1/2,等式成立
2）设n=k时等式成立ak=3/(k+5)
a(k+1)=3ak/(ak+3)= [9/(k+5)]/[ 3/(k+5)+3]
= [9/(k+5)]/[ (3+3k+15)/(k+5)] = 9/(3+3k+15)=3/(k+1+5)
由1）,2）对一切自然数n ,an=3/(n+5)成立.