已知函数f(x)=|x^2-1|+x^2+kx.若关于X的方程f(x)=0在（0,2）上有两个不同的解,x1,x2,求k的取值范围并证明1/x1+1/x2

Question

已知函数f(x)=|x^2-1|+x^2+kx.若关于X的方程f(x)=0在（0,2）上有两个不同的解,x1,x2,求k的取值范围并证明1/x1+1/x2

Answer 1

由f(x)=|x^2-1|+x^2+kx.若关于X的方程f(x)=0在（0,2）上有两个不同的解知：
x²-1＞0即x＞1或x＜-1,否则f(x)=|x^2-1|+x^2+kx=kx+1在（0,2）上不可能有两个不同的解,
所以f(x)=|x^2-1|+x^2+kx=2x²+kx+1,关于X的方程f(x)=0在（0,2）上有两个不同的解,那么
△=k²-8＞0推出k的取值范围：k＞2根号2或k＜-2根号2,对称轴x=-k/4在（0,2）中,得-8＜k＜0
因此-8＜k＜-2根号2
1/x1+1/x2=（x1+x2）/x1x2=（-k/2）/（-1/2）=k＜4