已知f(x)=|x^2-1|+x^2+kx（1）若k=2,求方程f(x)=0的解（2）若关于方程f(x)=0在（0,2）上有两个解x1,x2,求k的取值范围,并证明1/x1+1/x2

Question

已知f(x)=|x^2-1|+x^2+kx
（1）若k=2,求方程f(x)=0的解
（2）若关于方程f(x)=0在（0,2）上有两个解x1,x2,求k的取值范围,并证明1/x1+1/x2<4

Answer 1

1,分类讨论,A：-1=1,则有2X^2+2X-1=0.解得X=[-1-根号3]/2（舍去不在范围之内的值）.所以方程有两个解.
2,因为方程有两个解在（0,2）上,而对于二元方程2X^2+KX-1=0必有一根要小于0（因为抛物线和Y轴交点为-1,而其开口向上）所以方程二元方程只有一根在（0,2）上,更为确切的是在[1,2）上,故有f(1)=2+K-1<=0,f(2)=8+2K-1>0,解得,-7/2分别求得两根为X1=-1/K,X2=[-K+根号（K^2+8)]/4代入不等式中得,1/X1+1/X2=[根号（K^2+8)-K]/2,因为K为负值,所以该代数式是单调减的,故在K接近于-7/2有最大值将K=7/2代入得有[根号（K^2+8)-K]/2=4,故K的取值范围上有不等式成立.