设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点（图）．求证：∠DAE＝12∠BAF．

Question

设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点（图）．求证：∠DAE＝(1)/(2)∠BAF．

Answer 1

证明：如图，作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，
所以FA=FH．
设正方形边长为a，在Rt△ADF中，
AF²=AD²+DF²=a²+((3a)/(4))2=(25)/(16)a²，
所以AF=(5)/(4)a=FH．
从而CH=FH-FC=(5)/(4)a-(a)/(4)=a，
所以Rt△ABG≌Rt△HCG（AAS），GB=GC=DE=(1)/(2)a．
从而Rt△ABG≌Rt△ADE（SAS），
所以∠DAE=∠2=(1)/(2)∠BAF．