设函数f（x）=ex+2x-a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A．[-1+e-1，1+e]B．[1，1+e]C．[e，1+e]D．[1，e]

Question

设函数f（x）=e^x+2x-a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x₀，y₀），使得f（f（y₀））=y₀，则a的取值范围是（　　）

A．[-1+e^-1，1+e]
B．[1，1+e]
C．[e，1+e]
D．[1，e]

Answer 1

曲线y=sinx上存在点（x₀，y₀），
∴y₀=sinx₀∈[-1，1]．
函数f（x）=e^x+2x-a在[-1，1]上单调递增．
下面证明f（y₀）=y₀．
假设f（y₀）=c＞y₀，则f（f（y₀））=f（c）＞f（y₀）=c＞y₀，不满足f（f（y₀））=y₀．
同理假设f（y₀）=c＜y₀，则不满足f（f（y₀））=y₀．
综上可得：f（y₀）=y₀．
令函数f（x）=e^x+2x-a=x，化为a=e^x+x．
令g（x）=e^x+x（x∈[-1，1]）．
g′（x）=e^x+1＞0，∴函数g（x）在x∈[-1，1]单调递增．
∴e^-1-1≤g（x）≤e+1．
∴a的取值范围是[-1+e^-1，e+1]．
故选：A．