证明1．设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元,如果|A|>1,则e≠0.2．任一图中度数为奇数的结点是偶数个.3．设群＜G,＊＞除单位元外每个元素的阶均为2,则＜G,＊＞是交换群.4．在一个连通

Question

证明
1．设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元,如果|A|>1,则e≠0.
2．任一图中度数为奇数的结点是偶数个.
3．设群＜G,＊＞除单位元外每个元素的阶均为2,则＜G,＊＞是交换群.
4．在一个连通简单无向平面图G=〈V,E,F〉中若|V|≥3,则 |E|≤3|V－6.
5．单位元有惟一逆元.
6．设是一个群,则对于a,b∈G,必有惟一的x∈G,使得a*x=b.
7．设代数系统是一个群,则G除单位元以外无其它等幂元.
8．若连通简单无向平面图G有n个结点,m条边,k个面,且每个面至少由k(k≥3)条边围成,则 m≤k(n－2)／(k－2).
9．证明在元素不少于两个的群中不存在零元.
10．素数阶循环群的每个非单位元都是生成元.
11．设G=〈V,E〉是一个连通且|V|=|E|+1的图,则G中有一个度为1的结点.
12．给定无向连通简单平面图G=,且|V|=6,|E|=12,则对于任意f F,deg(f)=3.
13．证明在一个群中单位元是惟一的.
14．在一个群〈G,*〉中,若G中的元素a的阶是k,即 | a |=k,则a-1的阶也是k.
15．若有n个结点的连通图中恰有n-1 条边,则图中至少有一个结点度数为1.

Answer 1

1、若e=0
则依定义：（x为A中任一元素）
ex=x;ex=0x=0;
即x=0；|A|=1
矛盾
2、
各结点度数之和应为边数的2倍,为偶数,若度数为奇数的结点是奇数个各结点度数之和为奇数,矛盾.故任一图中度数为奇数的结点是偶数个.
3、因每个元素均为2阶,A=A-1(逆元素)
A*B=(A*B)-1=B-1*A-1=B*A
5、设A,B均为E的逆元：
即AE=BE=E
B=EB=E=EA=A
故E逆元唯一
6、存在性：
当x=a-1 b（∈G）时a x=a a-1 b=b
唯一性：
假设x1x2都满足条件
x1=a-1 a x1=a-1 b=a-1 a x2=x2
9、由题1知e≠0
但e=00-1=0
故不存在0-1,即不能有零元.
10、设a为非单位元,阶为k,即a^k=e;|A|=k;
对于元素a^r(r0
k为质数 ==> k|r 或k|(m-n)
但0