如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=a,又PA垂直面ABCD,PA=4,1)若在边BC上存在一点Q,使PQ垂直QD,求a的取值范围,2)当边BC上存在唯一点Q,使PQ垂直QD时,求PA与平面PDQ所成的角的正切值,

Question

如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=a,又PA垂直面ABCD,PA=4,
1)若在边BC上存在一点Q,使PQ垂直QD,求a的取值范围,2)当边BC上存在唯一点Q,使PQ垂直QD时,求PA与平面PDQ所成的角的正切值,

Answer 1

画出个基本图形出来!
1）要使PQ垂直QD,只需QD垂直平面PAQ,则需QD垂直PA,QD垂直QA!（QD垂直PA不用我多说）
设BQ为x,那么QC为a-x!
根据三角形ABQ与CDQ相似,有(a-x)/2=2/x
变形x^2-ax+4=0
x恒有实数根,所以△=a^2-16>=0
解得a>=4
2）由知道当a=4时,BC上存在唯一点Q,使PQ垂直QD,此时Q落在BC的中点!