如图,等腰rt三角形aob在平面直角坐标系中,p为动点,且pa丄pa.(1)如图1,P在第一象限,求角OPA的度数(2)如图2,P在第四象限时,求角OPA的度数(3)在2的条件下,如图三,过O作OE垂直于BP于E,判断BP,AP,EO之间的

Question

如图,等腰rt三角形aob在平面直角坐标系中,p为动点,且pa丄pa.(1)如图1,P在第一象限
,求角OPA的度数(2)如图2,P在第四象限时,求角OPA的度数(3)在2的条件下,如图三,过O作OE垂直于BP于E,判断BP,AP,EO之间的数量关系

Answer 1

   1.作OM⊥BP交BP于点M,作ON⊥PA延长线于N,∵BP⊥AP,∴∠BPA=90°,∴ONPB为矩形,在RT△BOM和RT△AON中,有OB=OA,∠BMO=∠ONA=90°,又知道∠MAN=∠BOA=90°,∴∠1+∠MOA=∠2+∠MOA=90°,∴∠1=∠2,∴RT△BOM≌RT△AON（AAS）∴OM=ON,∴OP为∠BPA的角平分线,即∠OPA=∠BPO=45°；

  2.作OM⊥BP于M,作ON⊥AP延长线于N,同理,OMPN为矩形,在RT△OMB和RT△ONA中,有OB=OA,∠BMO=∠ONA=90°,并且由于∠BPA=90°,又有对顶角相等 ∴∠1=∠2,所以RT△BOM≌RT△AON（AAS）,∴OM=ON,∴OP平分∠BPN,即∠BPO=45°,∴∠APO=∠BPA+∠BPO=90°+45°=135°；
   3.在BP上取点F使EF=EP,连接OF,∵OE⊥BP,且在第2问的条件下有∠APO=135°,即∠OPE=45°,∴在RT△OPE中,OE=EP,∴EF=EO=EP ,容易发现,RT△OEF≌RT△OPE（SAS）,因为∠OPE=45° ,可以得到∠FOP=90°∴∠1+∠FOA=∠2+∠FOA=90°,得到∠1=∠2∴△OBF≌△OAP（SAS）,∴BF=AP,由前面推论知道,EF=EO ∴2EO+AP=FP+BF=BP,即BP=AP +2EO,本题如果采用：直角三角形斜边中线=1/2;斜边也可以做.