设A为n阶方阵,因此A可以化为约旦标准型,即存在可逆矩阵P,使得 AP=PJ,其中J为约旦标准型矩阵,如何求P?设A为n阶方阵,因此A可以化为约旦标准型,即存在可逆矩阵P,使得AP=PJ,其中J为约旦标准型矩

Question

设A为n阶方阵,因此A可以化为约旦标准型,即存在可逆矩阵P,使得 AP=PJ,其中J为约旦标准型矩阵,如何求P?
设A为n阶方阵,因此A可以化为约旦标准型,即存在可逆矩阵P,使得
AP=PJ,其中J为约旦标准型矩阵,如何求P?
如题.
约旦标准型J如图
约旦标准型不知道,求一个系统点的求P的方法
如A可以相似对角化的时候,P的列向量由A的特征向量组成,要将A相似对角化,就需要先求特征值,再求对应特征值的特征向量,则这些特征向量按列组成P,与A相似的对角矩阵的对角元就是A的特征值.

Answer 1

首先必须求最小多项式.一般只要矩阵不特殊都是sI-A初等行列变换变成史密斯标准型,从而通过行列式因子或者直接算出来不变因子组,写成(x-si)^ni形式后,求初等因子组,初等因子组里相同因子方幂最大的相乘就得到了最小多项式.例如我们求得初等因子组为x(x-1),（x-1）,(x-1)^2,则其最小多项式为x(x-1)(x-1)^2,最小多项式的方幂就是约当块的分块,此题分块为0,1,1（二重）,写成约当标准型即可.然后通过AP=PJ把P分成x1,x2,...xn的列向量,然后一列一列的待定系数法可求得x1,x2,...,xn.
某些乘方比较好算或者阶次较小的矩阵可以用广义特征根法,优点是运算量小,可以直接求得约当标准型和变换矩阵P：det(sI-A)求得A的特征值,然后依次带回,分三种情况：si为单根则对应的约当块为1*1,对角线上是si,对应的特征向量为P中对应的列向量（如果约当型中你把这个单根的块放到第一个则对应P中第一列,放到第二个则对应第二列）；如果si是n重根,但是可以求得n个特征向量（即sI-A在s=si的时候可以相似对角化）,则得到一个n阶块,对角线上是si,这n个特征向量是P对应的列；如果si是n重根,但是只能求得m1（m1