已知f（θ）=1-2sinθ，g（θ）=3-4cos2θ．记F（θ）=a•f（θ）+b•g（θ）（其中a，b都为常数，且b>0）．（Ⅰ）若a=4，b=1，求F（θ）的最大值及此时的θ值；（Ⅱ）若θ∈[0，π2]，①证明：F（θ

Question

已知f（θ）=1-2sinθ，g（θ）=3-4cos²θ．记F（θ）=a•f（θ）+b•g（θ）（其中a，b都为常数，且b>0）．
（Ⅰ）若a=4，b=1，求F（θ）的最大值及此时的θ值；
（Ⅱ）若θ∈[0，(π)/(2)]，①证明：F（θ）的最大值是|2b-a|+b；②证明：F（θ）+|2b-a|+b≥0．

Answer 1

（Ⅰ）若a=4，b=1时，F（θ）=4（1-2sinθ）+3-4cos²θ=4（sinθ-1）²-1，
则F（θ）_max=15，此时的θ=2kπ-(π)/(2)（k∈Z）；
（Ⅱ）证明：F（θ）=a（1-2sinθ）+b（3-4cos²θ）=4b（sinθ-(a)/(4b)）²+a-b-(a2)/(4b)，
令sinθ=x∈[0，1]，记G（x）=4b（x-(a)/(4b)）²+a-b-(a2)/(4b)（0≤x≤1），
则其对称轴x=(a)/(4b)；
①当(a)/(4b)≤(1)/(2)，即2b≥a时，G（x）_max=G（1）=3b-a；
当(a)/(4b)>(1)/(2)，即2b<a时，G（x）_max=G（0）=a-b，
则G（x）_max=F（θ）_max=

3b-a(2b≥a)

a-b(2b<a)

=|2b-a|+b；
②F（θ）+|2b-a|+b≥0，即求证G（x）_min+|2b-a|+b≥0，
其中G（x）=4b（x-(a)/(4b)）²+a-b-(a2)/(4b)（0≤x≤1），
当(a)/(4b)<0，即a<0时，G（x）_min+|2b-a|+b=G（0）+2b-a+b=2b>0，
当0≤(a)/(4b)≤1，即0≤a≤4b时，G（x）_min+|2b-a|+b=G（(a)/(4b)）+|2b-a|+b=a-b-(a2)/(4b)+|2b-a|+b
=a-(a2)/(4b)+|2b-a|=(a(4b-a))/(4b)+|2b-a|≥0，
当(a)/(4b)>1，即a>4b时，G（x）_min+|2b-a|+b=G（1）+a-2b+b=2b>0，
综上：F（θ）+|2b-a|+b≥0．