二次函数(919:14:7)已知二次函数f（x)=ax2次方+bx+c(a,b,c∈R且a≠0）满足条件：《1》.当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;《2》.当x∈（0,2）,f(x)≤（x+1/2）2次方；《3》.f(x)在R上的最小值为0.求二次函数y

Question

二次函数 (9 19:14:7)
已知二次函数f（x)=ax2次方+bx+c(a,b,c∈R且a≠0）满足条件：《1》.当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;《2》.当x∈（0,2）,f(x)≤（x+1/2）2次方；《3》.f(x)在R上的最小值为0.求二次函数y=f(x)的解析式.
 

Answer 1

令X=x-4,则x=X+4；2-x=-X-2.
即f（X）=f(-X-2).
其中[X+(-X-2)]/2=-1,则说明二次函数对称轴为x=-1.
即-b/(2a)=-1.a=b/2.
f(x)≥x→f（0）=c≥0.；
令F（x）=f(x)-x≥0,即ax^2+(b-1)x+c≥0.
可知F（x）仍是一个二次函数,且得到a>0.
且其判别式△=(b-1)^2-4ac=0
f(x)在R上的最小值为0,则b^2=4ac.
则(b-1)^2-b^2=0;
b=1/2.
∴a=b/2=1/4.
且有
f(x)-（x+1/2）2=(a-1)x^2+(b-1)x+(c-1/4)=(-3/4)x^2-x/2+(c-1/4)
当x∈（0,2）,f(x)≤（x+1/2)^2;则:
c-1/4≤0→c≤1/4;
-3-1+(c-1/4)≤0→c≤17/4.
则取c≤1/4.
f(x)在R上的最小值为0,即当x=-1时,f（x)=0;
即a-b+c=0→c=b-a=1/4.
即y=f(x)的解析式为
f(x)=x^2/4 +x/2 +1/4