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高等代数的:设A是m × n阶实矩阵,证明:秩(A`A)=秩(A)
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高等代数的:设A是m × n阶实矩阵,证明:秩(A`A)=秩(A)
▼优质解答
答案和解析
看方程组①A'AX=0.与方程组②AX=0[X是未知n维列向量]
②的解显然是①的解.
现在设X0是①的任意非零实解.A'AX0=0.两边左乘列向量X0' 得到
X0'A'AX0=0(实数0) X0'A'AX0=(AX0)'(AX0)=0
(AX0)'(AX0)=[实列向量AX0]的n个分量(都是实数)的平方和=0(实数0)
每个分量等于0.即AX0=0(0向量).X0也是②的解.①,②是同解齐次方程组.
系数矩阵的秩相等(都等于n-(基础解系向量个数)),秩(A`A)=秩(A) .
②的解显然是①的解.
现在设X0是①的任意非零实解.A'AX0=0.两边左乘列向量X0' 得到
X0'A'AX0=0(实数0) X0'A'AX0=(AX0)'(AX0)=0
(AX0)'(AX0)=[实列向量AX0]的n个分量(都是实数)的平方和=0(实数0)
每个分量等于0.即AX0=0(0向量).X0也是②的解.①,②是同解齐次方程组.
系数矩阵的秩相等(都等于n-(基础解系向量个数)),秩(A`A)=秩(A) .
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