如果一元函数f(x0,y)在y0处连续,f(x,y0)在x0处连续,那么二元函数f(x,y)在点(x0,y0)是否必然连续?反之呢?如果一元函数f(x0,y)在y0处连续,f(x,y0)在x0处连续,那么二元函数f(x,y)在点(x0,y0)是否必然连续?反

题目详情

如果一元函数f(x0,y)在y0处连续,f(x,y0)在x0处连续,那么二元函数f(x,y)在点(x0,y0)是否必然连续?反之呢?
如果一元函数f(x0,y)在y0处连续,f(x,y0)在x0处连续,那么二元函数f(x,y)在点(x0,y0)是否必然连续?反之是否成立?烦请说明一下缘由,

▼优质解答

答案和解析

你所说的“一元函数f(x0,y)在y0处连续,f(x,y0)在x0处连续”可以简单的表述为“二元函数f(x,y)在(x0,y0)处分别按单变量连续”.如果f(x,y)在(x0,y0)点连续,则一定按单变量连续,但是按单变量连续的二元函数却不一定连续.例如函数f(x,y)=xy/(x^2+y^2) (x,y)≠(0,0)
0 (x,y)=(0,0)
它在原点按单变量连续,但函数本身在原点不连续,你可以自己证明一下.事实上,增加某些条件后才能使按单变量连续的二元函数连续,最常见增加的条件是,函数关于x（或y）连续且关于y（或x）一致.

看了如果一元函数f(x0,y)在...的网友还看了以下：

定义在R上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),且　2020-05-13 …

f(x)+f(y)=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2],f(0)不等于,且存在非零常数c, 　2020-05-14 …

设任意的x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y)+2x*y),且f'(x)存在,证明f(x)=f 　2020-05-17 …

如果一元函数f(x0,y)在y0处连续,f(x,y0)在x0处连续,那么二元函数f(x,y)在点( 　2020-05-21 …

函数f(x,y)在y>x＞0时连续可导已知对于任意z>y>x,有f(x,y)*f(y,z)=f(x 　2020-05-22 …

f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立,当f( 　2020-06-02 …

f(-|x|)与f(|x|)分别由f(x)怎样得来?这是我的理解,你们仔细看看对不对.函数y=f( 　2020-06-03 …

设y=f(x,t),且方程F(x,y,t)=0确定了t=t(x,y),求dy/dx457页的答案在　2020-07-22 …

d/dx×（y/x)与f'(y/x)有什么区别呢?这个问题想了好久也搞不懂,做题的时候看答案：d/d 　2020-11-04 …

设函数f(x)满足条件f(x+y)=f(x)+f(y)且f(x)在x=0处连续证明f(x)设函数f( 　2021-02-13 …