导数的几何意义为什么是斜率函数y=f(X)在点x0处的导数f'(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率这里有点不太理解,先看下面导数的定义:当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一

Question

导数的几何意义为什么是斜率
函数y=f(X)在点x0处的导数f'(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率
这里有点不太理解,先看下面导数的定义:
当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df/dx(x0)
这就来了事了,Δx→0,就是说无限接近,但就是不等于,也就是说函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a,只是在x无限的靠近x0时的斜率,但并不是在点x0上的斜率,所以不能做为M(x0,f(x0))处的切线的斜率吧

Answer 1

斜率,是高中学习中一个非常重要的概念.它的重要性以及意义,可以从以下几个方面体现：
第一个,从课标的这个角度,在义务教育阶段,学生学习了一次函数,它的几何意义表示为一条直线,一次项的系数就是直线的斜率,只不过当直线与X轴垂直的时候无法表示.虽然没有明确给出斜率这个名词,但实际上思想已经渗透到其中.在高中阶段对必修一以及还有必修二当中都讨论了有关直线问题,选修一还有选修二也都提到了与直线相关的一些问题.上述列举的内容,实际上都涉及到了斜率的概念,因此可以说斜率这个概念是学生逐渐积淀下来的一个重要的数学概念之一.
第二个,从数学的视角,可以从以下四个角度来理解如何刻划一条直线相对于直角坐标系中X轴的倾斜程度.首先就是从实际意义看,斜率就是我们所说的坡度,是高度的平均变化率,用坡度来刻划道路的倾斜程度,也就是用坡面的切直高度和水平长度的比,相当于在水平方向移动一千米,在切直方向上升或下降的数值,这个比值实际上就表示了坡度的大小.这样的例子实际上很多,比如楼梯及屋顶的坡度等等.其次,从倾斜角的正切值来看；还有就是从向量看,是直线向上方向的向量 与X轴方向上的单位向量的夹角；最后是从导数这个视角来再次认识斜率的概念,这里实际上就是直线的瞬时变化率.认识斜率概念不仅仅是对今后的学习起着很重要的作用,而且对今后学习的一些数学的重要的解题的方法,也是非常有帮助的.
第三个,从教材这个视角看.（1）从大纲来看,教材在处理直线的斜率这一部分知识的时候,首先讲直线的倾斜角,然后再讲直线的斜率,之后再来引入经过直线上的两点的斜率公式的推导；从新课程标准来看,可以看到人教版A版的教材是先讲直线的倾斜角,然后再讲直线的斜率,只不过在处理上,是以问题的提出的形式来说.首先是过点P可以做无数条直线,那么它都经过点P,于是组成了一个直线束,这些直线的区别在哪儿呢,容易看出它们的倾斜程度都不同,那么如何刻画这些直线的倾斜程度呢,以直线l与x轴相交时,以x轴作为一个基准,x轴的走向与直线l向上的方向之间所成的角α定义为直线l的倾斜角.之后讨论了倾斜角的取值范围,然后提出日常生活中与倾斜程度有关的量,让学生们来自己举例子,比如身高与前进量的比；再比如说进二升三与进二升二去比较,那前者就会更陡一些.如果用倾斜角这个概念,那么我们会看到坡度实际上就是倾斜角α的正切值,它就刻画了直线的一个倾斜程度,这里要特别强调的是倾斜角不是90度的直线都有斜率.由于倾斜角不同,直线的斜率不同,因此可以用倾斜角表示直线的倾斜程度,然后引导同学们去探索如何用过直线上的两个点来推导有关直线的斜率公式,同样在这里牵扯到有关的倾斜角是0度到90度、以及倾斜角是90度、还有90度到180度不同取值范围的斜率的表达形式.再来看人教版的数学时,在这里再次提到了直线的斜率的概念,但只不过是在总复习题B组当中涉及到有关斜率的提法,此时用向量的方式来再次提到斜率公式的引进.
第四个,物理学习平均速度,瞬时速度,加速度等时需要运用其求解,推算
第五个,斜率可以帮助我们更好的理解,推导,理解公式以及其他各个方面.