证明lim(h→0)[f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)]/h^2=f’’(x0)已知f’’(x0)存在.由已知知f’(x0)在x0处连续,左式=lim(h→0)[f’(x0+h)-f’(x0-h)]/2h,这一步怎么得来的?

Question

证明lim( h→0)[f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)]/h^2=f’’(x0)
已知f’’(x0)存在.
由已知知f’(x0)在x0处连续,左式=lim(h→0)[f’(x0+h)-f’(x0-h)]/2h,这一步怎么得来的?

Answer 1

在这里是用了洛必达法则,对分子分母同时求导
显然h趋于0的时候,
分子f(x0+h)+f(x0-h) -2f(x0)和分母h^2也都趋于0,
满足洛必达法则使用的条件,那么分子分母同时对h求导
即
原极限
=lim(h→0) [f(x0+h)+f(x0-h) -2f(x0)] / h^2
=lim(h→0) [f(x0+h)+f(x0-h) -2f(x0)]' / (h^2)'
显然[f(x0+h)+f(x0-h) -2f(x0)]'= f’(x0+h)-f’(x0-h),
而(h^2)'=2h
于是就得到了
原极限=lim(h→0) [f’(x0+h)-f’(x0-h)]/2h