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设n阶矩阵A满足A^2=A,求A的特征值,并证明E+A可逆.
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设n阶矩阵A满足A^2=A,求A的特征值,并证明E+A可逆.
▼优质解答
答案和解析
设j是的一特征值,则有X,使得AX=jX.
而又有
A^2×X=A(AX)=A(jX)=j(AX)=j^2×X 因为A^2=A,故有：j^2×X=j×X即 j^2=j
求得 j=0 j=1
由A^2=A 有A^2－A－2E=－2E
因为E^2=E A×E=A
故上式化成
（A＋E）×（A－2E）=－2E
从而E＋A可逆
而又有
A^2×X=A(AX)=A(jX)=j(AX)=j^2×X 因为A^2=A,故有：j^2×X=j×X即 j^2=j
求得 j=0 j=1
由A^2=A 有A^2－A－2E=－2E
因为E^2=E A×E=A
故上式化成
（A＋E）×（A－2E）=－2E
从而E＋A可逆
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