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设A为n阶方阵且满足条件A*A+A-6E=0,证明:A-E及A+3E可逆,并求它们的逆.设A为n阶方阵且满足条件A*A+A-6E=0,证明：A-E及A+3E可逆,并求它们的逆.
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设A为n阶方阵且满足条件A*A+A-6E=0,证明:A-E及A+3E可逆,并求它们的逆.
设A为n阶方阵且满足条件A*A+A-6E=0,证明：A-E及A+3E可逆,并求它们的逆.
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▼优质解答
答案和解析
∵A^2+2A+6E=0
∴A^2+3A-A-3E+9E=0
A(A+3E)-(A+3E)=-9E
(A+3E)(A-E)=-9E
∴|(A+3E)(A-E)|=|A+3E||A-E|=|-9E|≠0
∴|A+3E|、|A-E|都不为零,即可逆
∴A^2+3A-A-3E+9E=0
A(A+3E)-(A+3E)=-9E
(A+3E)(A-E)=-9E
∴|(A+3E)(A-E)|=|A+3E||A-E|=|-9E|≠0
∴|A+3E|、|A-E|都不为零,即可逆
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