问一道大一线性代数题设A,B为n阶矩阵,且满足2B^（-1）A=A-4E,其中E为n阶单位矩阵,证明B-2E为可逆矩阵,并求（B-2E）^(-1)衷心感谢每位回答者!

Question

问一道大一线性代数题
设A,B为n阶矩阵,且满足2B^（-1）A=A-4E,其中E为n阶单位矩阵,证明B-2E为可逆矩阵,并求（B-2E）^(-1)
衷心感谢每位回答者!

Answer 1

证明
2B^(-1)A=A-4E
左乘B
2BB^(-1)A=BA-4BE
2EA=BA-4BE
4BE=BA-2EA
4BE=(B-2E)A
右乘B^(-1)
4BEB^(-1)=(B-2E)AB^(-1)
4BB^(-1)=(B-2E)AB^(-1)
4E=(B-2E)AB^(-1)
E=(B-2E)[(1/4)(AB^(-1)]
∴B-2E可逆,(B-2E)^(-1)=(1/4)[AB^(-1)]
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