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n阶矩阵A,A^k=0,证E-A可逆,用特征值法证明.
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n阶矩阵A,A^k=0,证E-A可逆,用特征值法证明.
▼优质解答
答案和解析
先证A的特征值只有0；
反证法：假设A有一个特征值t不等于0；
那么,根据特征向量的定义,存在X不等于0,
AX=tX；
又A^K=0
则0=(A^k)X=A^(k-1)(tX)=tA^(k-1)X=……=(t^k)X
又t不等于0,t^k不等于0,所以X=0,
与X不等于0矛盾.
所以,A的特征值只有0.
所以1不是特征值.
所以|E-A|不等于0；
所以E-A可逆.
反证法：假设A有一个特征值t不等于0；
那么,根据特征向量的定义,存在X不等于0,
AX=tX；
又A^K=0
则0=(A^k)X=A^(k-1)(tX)=tA^(k-1)X=……=(t^k)X
又t不等于0,t^k不等于0,所以X=0,
与X不等于0矛盾.
所以,A的特征值只有0.
所以1不是特征值.
所以|E-A|不等于0；
所以E-A可逆.
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