设A是n维反对称矩阵,证明对任意非零常数c,矩阵A+cE恒可逆反对称矩阵的特征值是0或者纯虚数怎么证明啊···

Question

设A是n维反对称矩阵,证明对任意非零常数c,矩阵A+cE恒可逆
反对称矩阵的特征值是0或者纯虚数怎么证明啊···

Answer 1

因为反对称矩阵的特征值是0或者纯虚数.
如果A+cE不可逆,则-c为反对称矩阵的特征值,出现矛盾,
所以矩阵A+cE恒可逆
补充证明：
由反对称阵定义得A=-A'
设ξ 是属于特征值λ 的特征向量,即Aξ=λξ
那么 共轭(ξ')Aξ=共轭(ξ')(-A'ξ)=-[A共轭(ξ)]'ξ
所以 λ共轭(ξ')ξ=-共轭(λξ')ξ
所以 λ=-共轭(λ）
设λ=a+bi 代入得
a+bi=-(a-bi)
a=-a
a=0
λ=bi
所以反对称矩阵的特征值是0或者纯虚数